제곱항의 부호만 보면, 실수 점이 없는 식도 타원일까

\begin{aligned} \text{A: }&4x^2+9y^2=36\\ \text{B: }&4x^2+9y^2=-36 \end{aligned}

“두 제곱항의 부호가 같으므로 둘 다 타원 카드다.” 이 분류를 검토하고, 각 식을 만족하는 실수 점이 있는지 판단하라.

\text{A: }\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

A는 중심이 원점이고 장축의 길이6,단축의 길이4인 타원이다. B의 왼쪽은 모든 실수 $x,y$ 에서0이상이므로 $-36$ 과 같을 수 없다. B를 만족하는 실수 점은 없다.

교사는 분류 카드에 ‘실수 점이 있는가’라는 칸을 먼저 둔다. 제곱항의 부호를 확인하는 기준을 배웠더라도, 모든 식을 곧바로 같은 종류의 실제 곡선으로 그릴 수 있는 것은 아니다.

A를 정리할 때는 양변을36으로 나누어 우변1을 만든다. 분모9와4는 길이가 아니라 길이의 제곱이다. $x=0$ , $y=0$ 을 각각 넣으면 꼭짓점이 $(0,\pm2),(\pm3,0)$ 임을 확인할 수 있다.

B의 우변을1로 만들려고 $-36$ 으로 나누면 두 제곱항의 계수가 모두 음수가 된다. 이 식을 양의 분모가 있는 타원의 표준적인 식과 같다고 처리할 수 없다. 나누는 수의 부호를 함께 남겨야 한다.

후속 식 $4x^2+9y^2=0$ 에서는 원점 하나만 가능하다. 같은 왼쪽을 유지하고 우변을 바꿔 보면서 타원·한 점·실수 점 없음의 차이를 설명한다. 공식을 외우는 대신 가능한 점을 먼저 확인하는 비교다.

학생에게 A의 그래프를 그리는 것과 B의 불가능을 식으로 보이는 것이 서로 다른 답안 형태임을 안내한다. 없는 곡선을 상상해 그리게 하는 요구를 피할 수 있다.