정육면체의 구별된 여섯 면에 빨강·파랑·노랑을 두 면씩 칠하면90가지다. 회전하여 같아지는 색 배치를 하나로 세려고90/24를 계산했다. 정육면체를24가지 방향으로 놓을 수 있다는 이유로 이 나눗셈이 가능한가?
그대로 나눌 수 없다. 모든 색 배치가 회전으로24개의 서로 다른 구별된 면 배치를 만드는지 먼저 확인해야 한다. 같은 색 때문에 서로 다른 회전이 같은 색 배치를 만들 수 있다.
세 색이 각각 서로 마주 보는 두 면에 칠해진 배치를 보자. 빨강을 놓을 마주 보는 축은3가지, 파랑을 놓을 남은 축은2가지, 노랑은1가지다. 회전으로 만들 수 있는 서로 다른 색 배치는6개뿐이다.
한 색의 면을 같은 색끼리 바꾸는 방향으로 돌리면 면의 위치는 바뀌어도 색은 같게 보인다. 이 예 하나만으로 모든 배치를24개씩 묶는다는 주장을 반박할 수 있다.90/24가 정수가 아니라는 관찰도 계산의 이상을 알려 주지만, 왜 나눌 수 없는지는 실제 중복의 수로 설명한다.
교사는 전체 회전 종류24와 한 색 배치에서 얻는 서로 다른 결과 수를 구별한다. 여섯 사람이 모두 다른 원순열에서는 각 회전 결과를 구별할 수 있지만, 같은 색이 반복되는 입체에는 그 논리를 바로 적용할 수 없다.
이 문항은 회전까지 합친 전체 색 배치 수를 요구하지 않는다. 나눗셈의 전제가 깨지는 사례를 제시하는 것이 정답이다. 새 계산 방법을 가르치기 전에 무엇을 같은 경우로 세는지와 각 중복이 같은 횟수인지 확인하는 질문으로 사용할 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Harlequin Cube」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.