성공 횟수에 2점을 곱했다고 이항분포의 시행 수도 두 배일까

X\sim B(3,1/2),\qquad Y=2X.

성공할 때마다 2점을 주어 총점 Y를 만든다. 최댓값이 6이므로 Y~B(6,1/2)라는 답을 검토하라.

실제 가능한 점수는 0,2,4,6이다. 확률표는

P(Y=0,2,4,6)=\frac18(1,3,3,1).

이다. 1점이 나올 확률은 0이다. 반면 B(6,1/2)에서 값 1의 확률은 6/64로 양수이므로 두 분포는 다르다.

실제 평균은 E(Y)=2E(X)=3이다. 제시한 B(6,1/2)도 평균은 3이다. 평균이 일치해도 이산확률변수의 각 값에 대한 확률까지 같은 것은 아니다.

분산으로도 검산한다. 실제 분산은 4×3×(1/2)×(1/2)=3이고, 제시한 분포의 분산은 6×(1/2)×(1/2)=3/2다. 2점을 붙이는 계산에서는 분산이 네 배가 된다.

두 점을 두 개의 독립 성공으로 세면 안 된다. 한 번 성공할 때 두 점은 함께 생기고 실패할 때 함께 사라진다. 세 번의 독립 시행을 여섯 번의 독립 시행으로 바꾼 규칙은 주어지지 않았다.

수업에서는 점수표에 홀수 칸도 써 두고 확률 0을 넣게 한다. 가장 작은 양수 점수가 2라는 사실을 보이면 분포 이름을 최댓값에서 추측한 답을 곧바로 검토할 수 있다. 가능한 값, 그 값의 확률, 평균의 계산을 각각 남긴다.

성공 확률을 다른 q로 바꾼 B(6,q)도 이 네 값의 분포가 될 수 없다. 0<q<1이면 1이 양의 확률을 갖고, q=0 또는 1이면 한 값만 갖기 때문이다.

표의 0점과 6점은 둘 다 1/8이다. 후보 이항분포에서는 둘 다 1/64다. 평균만 점검한 풀이에 양 끝 확률 하나를 추가하면 잘못된 분포를 찾아낼 수 있다.