a가 영벡터가 아니고 a·b=a·c이므로 b=c라는 설명을 검토하라.
두 내적은 모두 3이다. 그러나 b와 c의 좌표는 다르다. 수의 곱에서 0이 아닌 수를 약분하는 계산을 내적에 그대로 적용할 수 없다.
여기서 얻는 정보는 차가 a에 수직이라는 것이다. 차 자체가 영벡터라고 결론 낼 수 없다.
같은 측정값을 주는 여러 벡터
c를 (3+2t,−t,0)으로 바꾸면 모든 실수 t에서 a·c=3이다. t=0일 때만 b와 같다. 한 방향과의 내적 하나는 벡터의 세 성분을 모두 정하지 않는다.
비교할 방향을 세 좌표축의 단위벡터로 바꾸어 세 내적을 모두 같게 주면 다르다. 그 내적은 각 좌표 성분이므로 b와 c의 세 성분이 같아져 b=c가 된다. 세 방향이 아무렇게나 정해져도 같은 결론이라는 뜻은 아니다.
예를 들어 x축과 y축 방향의 내적 둘만 같으면 z성분이 다른 (3,0,0)과 (3,0,1)을 구별하지 못한다. 측정한 방향과 빠진 성분을 같이 써야 한다.
채점에서 a가 0이 아니라는 확인만으로 약분을 승인하지 않는다. 내적의 분배법칙을 써 차에 대한 식까지 남긴 뒤, 그 식이 수직 조건인지 벡터의 일치 조건인지 읽게 한다. 세 벡터가 모두 영벡터가 아닌 첫 예라 단순한 0벡터 예외로 피할 수도 없다.
두 벡터가 같은지를 물을 때에는 차의 크기가 0인지 확인할 수 있다. 차와 한 방향의 내적이 0이라는 조건은 그 크기까지 알려 주지 않는다. 두 종류의 0을 구별한다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.