일곱 사람을1~7로 표시한다. 다음 일곱 팀 중 한 팀을 같은 확률로 고른다. 각 팀은 세 사람이다.
모든 두 사람은 함께 뽑힐 확률이1/7이다. 그렇다면 가능한35개의 세 사람 팀을 모두 같은 확률로 뽑는 절차와 같은가?
같지 않다. 팀123은 위 절차에서1/7,35개 전체 팀에서 균등 선택할 때는1/35이다. 팀124는 위 목록에 없어 확률0이다.
두 사람만 확인한 계산은 맞다. 위 목록에는21개의 사람 쌍이 각각 한 번씩 들어간다. 한 팀에 쌍3개씩 있으므로7×3=21이며 실제 목록에서 중복이 없음을 확인할 수 있다. 따라서 각 쌍의 포함 확률은1/7이다.
35개 팀을 균등하게 뽑는 절차에서도 고정된 두 사람이 든 팀은 나머지5명 중 한 명을 고르는5개다. 따라서5/35=1/7이다. 쌍에 대한 확률은 두 절차에서 같지만 전체 팀의 확률은 다르다.
교사는 추첨 규칙을 검토할 때 검사한 조건이 전체 선택의 균등함을 보장하는지 묻는다. 학생마다 선택될 확률이나 둘씩 함께 선택될 확률을 맞추는 일만으로 가능한 팀을 모두 같은 확률로 고른다고 단정하지 않는다.
문항에서는 팀의 순서를 무시하고 각 팀에 서로 다른 세 사람이 들어간다고 명시한다.3자리 번호의 순열이 아니라 사람 집합을 세므로 전체 경우의 수는7C3=35다. 공정이라는 말 대신 어떤 결과들이 같은 확률인지 구체적으로 확인한다.
출처·착안: Dr Nic, 「Open Letter to Khan Academy about Basic Probability」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.