두 직선까지 같은 거리인 점들이 항상 평면을 만들까

l:(t,0,0),\qquad m:(0,s,2),\qquad t,s\in\mathbb R.

두 직선까지의 거리가 같은 점P=(x,y,z)의 조건을 구하라. 두 점까지 같은 거리일 때처럼 평면이 된다는 주장을 검토한다.

l에서 P와 가장 가까운 점은(x,0,0), m에서는(0,y,2)다. 따라서 두 거리 제곱은 각각 y²+z²와 x²+(z−2)²이다.

y^2+z^2=x^2+(z-2)^2 \quad\Longrightarrow\quad 4z=x^2-y^2+4.

이 조건을 만족하는 점들이 답이다. 아직 그 집합의 도형 이름을 정할 필요는 없다.

A=(2,0,2), B=(−2,0,2)는 모두 조건을 만족한다. 두 직선까지 거리 제곱은 각각4로 같다. 그런데 중점M=(0,0,2)는 l까지 거리2, m까지 거리0으로 같지 않다.

한 평면 위 두 점의 중점은 그 평면 위에 있다. 위 집합에서는 이 성질이 깨지므로 평면 전체를 나타내는 조건이 아니다. 두 점까지 같은 거리에서 얻는 평면 결론을 두 직선에 자동으로 옮길 수 없다.

각 직선까지의 거리 계산은 직선 위의 임의의 점을 택하는 것이 아니다. t=x, s=y일 때 차이 벡터가 각 직선의 방향과 수직임을 확인한다. 매번 같은 기준점 원점·(0,0,2)로 재면 x² 또는 y²가 불필요하게 더해진다.

문항의 핵심은 자취 이름을 아는지가 아니다. 주어진 대상이 두 점인지 두 직선인지 읽고, 정확한 거리 조건과 한 반례로 과한 도형 결론을 검토하도록 한다.

두 직선은 서로 만나지 않는다. l에서는 z=0이고 m에서는 z=2라 공통점이 없다. 가장 가까운 점을 각각 찾는 계산에서도 두 문자를 하나로 맞춰야 할 이유가 없다는 점을 확인한다.