HH와 TH가 먼저 나오는 확률은 각각 1/4일까

공정한 동전을 독립적으로 네 번 던진 기록을 앞에서부터 읽는다. 이웃한 두 글자 HH와 TH 중 처음 나타난 것을 승자로 정한다. 둘 다 네 자리 안에 없으면 보류한다. H는 앞면, T는 뒷면이다.

특정 두 자리가 HH일 확률과 TH일 확률은 각각1/4다. 그러나 승자가 될 확률은

P(\text{HH 승})=\frac14,\quad P(\text{TH 승})=\frac58,\quad P(\text{보류})=\frac18.

HH가 먼저 승리하려면 처음 두 자리가 HH여야 한다. 처음이 T이면 첫 H를 만날 때 TH가 먼저 나타난다. 처음이 HT여도 그 뒤의 첫 H에서 TH가 승리한다. 따라서 HH 승리는16개 기록 중 HH로 시작하는4개다.

보류는 TTTT,HTTT 두 개뿐이다. 처음 두 자리가 HH가 아니면서 나중에 H가 나타나면 그 앞은T이므로 TH가 된다. 남은10개는 TH 승리다. 이후에 HH가 생기더라도 이미 정한 승자가 바뀌지는 않는다.

교사는 “어떤 두 자리의 모양”과 “전체 기록에서 먼저 나온 모양”을 구별하게 한다. 모양 하나의 확률이 같다는 사실만으로 순서를 비교하는 규칙까지 공정하다고 할 수 없다.

TH가 없다는 기록을 모두 HH 승리로 처리하는 것도 틀린다. 네 번의 제한 안에서 승자가 없는 두 기록을 따로 남겨야 확률의 합이1이 된다. 종료 규칙을 생략하면 다른 문항이 된다.

정답 검산은16개 전체 기록을 기준으로 한다. 일찍 승리한 두 글자 기록과 네 글자 보류 기록을 같은 확률로 세지 않는다. 최종 문자열 길이가 다르다고 같은 경우의 수가 되는 것은 아니다.