접힌 직선 전체가 포물선은 아니다

F(0,2),\quad l:y=-2,\quad Q(4,-2)

준선 위 점 $Q$ 를 초점 $F$ 에 겹치도록 종이를 접었다. 접힌 자국은 $F$ 와 $Q$ 에서 같은 거리에 있는 점들의 직선이다. 이 직선 위 모든 점이 포물선 $x^2=8y$ 위의 점인가?

x^2+(y-2)^2=(x-4)^2+(y+2)^2 \Rightarrow y=x-2

(2,0)\text{은 이 직선 위지만 }2^2\ne8\cdot0

답은 아니다. 접힌 자국의 점은 초점F와 준선 위 특정한 점Q까지의 거리가 같다. 포물선의 정의에는 Q가 아니라 준선 자체까지의 거리가 들어간다.

두 조건을 동시에 만족하는 점을 구하면

x^2=8(x-2)\Rightarrow(x-4)^2=0 \Rightarrow T(4,2)

접힌 직선은 포물선과 T에서 접한다. T에서는 Q가 준선에 내린 수선의 발이므로 $TF=TQ=d(T,l)=4$ 가 된다. 직선 위 다른 점에 이 결론을 그대로 적용할 수는 없다.

교사는 종이에서 보이는 자국과 곡선을 같은 선으로 그리지 않는다. 이 한 직선과 점T를 먼저 표시한 다음, 준선 위 Q를 바꿀 때 접점도 달라짐을 설명할 수 있다. 여러 자국이 곡선을 둘러싼다는 관찰과 자국 하나가 곡선이라는 주장은 다르다.

학생이 “접었으니 같은 거리”라고만 쓰면 같은 거리를 재는 두 대상에 이름을 붙이게 한다. F와Q라고 쓴 뒤, 포물선의 F와l과 비교해야 빠진 조건을 찾을 수 있다.

반례 $(2,0)$ 에서 F와Q까지는 모두 $2\sqrt2$ 지만 준선까지는2다. 좌표 대입과 거리 계산을 둘 다 남기면 그림의 인상에만 의존한 답을 고칠 수 있다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Wax Paper Parabolas」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.