AB,BC,CD,DA를 차례로 잇는다. 네 선분의 길이가 같으므로 마름모라는 설명을 검토하라.
각 변의 길이는 √8이다. 예를 들어 AB의 차 벡터는 (0,−2,−2)이며 길이의 제곱은 8이다. 나머지 세 변도 두 성분이 ±2, 한 성분이 0으로 같은 길이다.
하지만 네 점이 한 평면에 있지 않다. A,B,C를 지나는 평면은
이다. 세 점을 넣으면 모두 1이지만 D를 넣으면 −3이다. D는 그 평면 위가 아니다.
평면도형의 전제를 먼저
마름모는 한 평면에 놓인 사각형이다. 공간에서 같은 길이의 네 선분을 닫힌 순서로 연결했다고 그 조건이 자동으로 생기지 않는다. 변 길이의 계산은 맞지만 그것만으로 평면 사각형 이름을 붙일 수 없다.
A,B,C가 한 직선 위에 있지 않은 것도 확인한다. AB=(0,−2,−2), AC=(−2,0,−2)는 평행하지 않다. 따라서 세 점을 포함한 평면은 위 평면 하나이고, 다른 평면을 골라 D까지 넣을 수는 없다.
도형 이름을 답으로 쓰는 문항에서는 공간인지 평면인지 조건을 앞에 둔다. 이미 평면 사각형이라고 주었다면 네 변이 같은 조건으로 마름모를 판정할 수 있다. 이 예는 그 평면 전제를 주지 않았다.
그림에서 네 점을 같은 종이에 그렸다는 사실도 실제 공간점이 한 평면이라는 증거가 아니다. 길이 네 개와 평면식 대입을 각각 남기면 종이 그림의 인상에 의해 추가한 조건을 찾을 수 있다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.