두 조각을 미분가능하게 잇는 데에는 조건이 두 개 필요하다

$f$가 $x=0$에서 미분가능하도록 상수 $a,b$를 정하자. $a=0$만 쓰면 충분할까?

먼저 두 조각의 값이 이어져야 한다. 왼쪽에서의 극한은 1이고 $f(0)=b$이므로 연속이려면 $b=1$이다. 미분가능한 함수는 연속이어야 하므로 이 조건을 건너뛸 수 없다.

이제 $b=1$을 넣고 미분계수의 정의를 좌우에서 확인한다. $h<0$이면

이고, $h>0$이면 같은 몫은 $(ah+1-1)/h=a$다. 두 극한값이 같으려면 $a=0$이다. 따라서 $\boxed{a=0,\ b=1}$이며 이때 양쪽 몫이 모두 0으로 가까워져 실제로 미분가능하다.

$a=0,b=2$를 넣으면 두 조각의 각 기울기는 0 근처에서 비슷해 보여도 점의 높이가 다르다. $a=2,b=1$이면 값은 이어지지만 왼쪽 미분계수 0과 오른쪽 미분계수 2가 다르다. 두 조건은 서로 대신할 수 없다.

연속 조건을 쓴 뒤 미분계수의 정의를 적용하게 한다. 두 조각을 각각 미분한 값만 맞춘 답에는 $f(0)$을 어디에 썼는지 물어보자. 극한 계산의 분자에 실제 함숫값을 넣었는지 확인하면 빠진 조건을 찾을 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.