물이 계속 들어와도 물통의 양이 계속 늘어나는 것은 아니다

물통에는 처음10L가 있다. 시간 단위는 분이고 1분당 들어오는 물의 양 $I$, 1분당 나가는 물의 양 $O$의 단위는 L/분이다. 이 시간 동안 다른 유입·유출과 넘침은 없다. 물의 양은 언제 가장 많을까?

1분당 들어오는 물의 양은 끝까지 양수이지만 물이 나가는 속도도 고려해야 한다. 물의 양 $V$의 변화율은

다. 처음10L를 포함하면 $V(t)=10+\int_0^t(4-2u)\,du=10+4t-t^2$이다. $0\le t<2$에서는 증가하고 $2<t\le3$에서는 감소한다. 따라서 $\boxed{t=2\text{분에 }14\text{L}}$로 가장 많다.

두 끝도 확인하자. $V(0)=10$, $V(3)=13$이고 $V(2)=14$다. 마지막까지 1분당 들어오는 물의 양이 양수라는 조건은 물이 들어온다는 뜻이지, 순증가량이 양수라는 뜻은 아니다. 2분 뒤에는 나가는 양이 들어오는 양보다 많다.

들어오는 양과 나가는 양의 그래프를 먼저 비교한다. $I(2)=O(2)=4$라는 설명에 그 전후의 크기 비교까지 붙여야 최대의 근거가 완성된다. 초기10L를 빼먹으면 시각2는 맞아도 양4L가 나오므로, 단위와 구한 양을 채점에서 따로 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.