정적분의 두 끝이 움직이면 두 변화율을 함께 읽는다

H(x)=\int_x^{2x}t^2\,dt

$H'(1)$ 을 구하자. 학생이 “위끝2를 넣으면 $2^2=4$ ”라고 썼다. 적분구간의 어떤 움직임이 빠졌을까?

먼저 직접 적분하면

H(x)=\left[\frac{t^3}3\right]_x^{2x}=\frac{7x^3}3

이므로 $H'(x)=7x^2$ , $\boxed{H'(1)=7}$ 이다. 정적분의 결과도 $x$ 의 함수라는 것을 유지하고 미분한다.

적분의 끝을 따로 읽어도 같은 답이다. 위끝 $2x$ 는 $x$ 보다 두 배 빠르게 변하고 아래끝 $x$ 도 함께 변한다. 따라서

H'(x)=(2x)^2\cdot2-x^2\cdot1=7x^2

다. 위끝의 값4만 쓰면 위끝 변화율2와 아래끝에서 빠지는 양1을 모두 놓친다. 위끝에 해당하는 기여8에서 아래끝 기여1을 빼야 한다.

적분 결과를 다항식으로 만드는 방법과 두 끝의 변화율을 쓰는 방법을 비교한다. 두 방법의7이 같은 이유까지 써 보자. 이 식은 $x<0$ 에서 위끝의 숫자가 아래끝보다 작지만 방향이 있는 정적분으로도 정의된다. 이번 질문은 $x=1$ 이므로 처음에는 양의 구간에서 계산하고, 음수 입력에서도 직접 적분식이 성립하는지 후속 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.