적분변수를 바꾸면 적분구간의 숫자도 다시 읽어야 한다

학생이 $u=x^2+1$로 놓고 $I=\int_0^1u^2\,du=1/3$이라고 썼다. 식을 바꾸는 과정에서0과1은 무엇의 값으로 남았을까?

$du=2x\,dx$를 대응한 것은 맞다. 그러나 원래 아래끝과 위끝은 $x$의 값이었다. $x=0$일 때 $u=1$, $x=1$일 때 $u=2$다. 새 변수로 적분하려면 끝도 새 입력으로 바꾼다.

끝을 바꾸지 않고 푸는 방법도 있다. $u$로 부정적분한 뒤 $(x^2+1)^3/3$으로 다시 $x$의 식을 쓰고, 원래의 $x$ 구간0부터1까지 대입한다. 결과는 $(8-1)/3=7/3$이다. 끝을 $x$로 유지하려면 식도 $x$로 되돌려야 한다.

이 예제는 전개 검산도 짧다. 피적분함수는 $2x^5+4x^3+2x$이므로 적분값은 $1/3+1+1=7/3$이다. 학생의 $1/3$은 새 변수의0~1 구간을 적분한 값으로, 원래 문제의 구간과 다르다.

학생에게0과1 옆에 $x$인지 $u$인지 적게 하자. 끝의 대응표를 먼저 쓰는 풀이와, 부정적분 후 원래 변수로 돌아오는 풀이를 나란히 놓으면 식과 구간이 같은 변수를 가리켜야 한다는 이유가 보인다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.