항이 0에 가까워진다는 것과 급수가 수렴한다는 것은 다르다

학생은 일반항이0에 가까워지므로 $\sum_{n=1}^{\infty}1/n$도 수렴한다고 썼다. 항의 극한 대신 무엇을 더 확인해야 할까?

급수는 부분합의 극한으로 판단한다. 부분합을 $S_N=1+1/2+\cdots+1/N$으로 놓고, 항을 다음처럼 묶는다.

$1/3+1/4$은 $2\cdot1/4=1/2$ 이상이다. $1/5$부터 $1/8$까지의 합도 $4\cdot1/8=1/2$ 이상이다. 일반적으로 $2^{k-1}+1$부터 $2^k$까지는 $2^{k-1}$개의 항이고 각 항은 $1/2^k$ 이상이므로 그 묶음의 합은 $1/2$ 이상이다.

따라서 $S_{2^m}\ge1+m/2$다. 묶음이 늘어날 때마다 일정량 이상이 더해져 부분합이 한정되지 않는다. 양수 항을 더한 부분합은 증가하므로 이 급수는 발산한다.

처음 두 묶음의 합을 구한 뒤 일반 묶음의 항 개수를 세게 하자. $a_n\to0$라는 계산은 맞고, 급수가 수렴한다는 결론은 틀린다. 계산을 지우기보다 명제의 어느 방향이 성립하는지 설명하게 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Good Question 14」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.