등비급수의 첫 항이 0인 경계값은 별도로 확인한다

수렴하는 실수 $x$의 범위와 급수의 값을 구하자. 학생은 $|x-1|<1$에서 $0<x<2$, 합은 $-1$이라고 썼다. 이 풀이에서 아직 확인하지 않은 경계값은 무엇일까?

첫 항은 $x-2$, 공비에 해당하는 수는 $x-1$이다. 첫 항이0이 아닌 $x\ne2$에서 수렴하려면 $|x-1|<1$이어야 하므로 $0<x<2$다. 이 범위에서

이다. 그러나 $x=2$에서는 모든 항이 $0\cdot1^n=0$이므로 급수는0으로 수렴한다. 분수식은 $0/0$이 되어 사용할 수 없지만 원래의 급수는 정의된다. 따라서 수렴 범위는 $\boxed{0<x\le2}$이고, 합은 $0<x<2$에서 -1, $x=2$에서0이다.

다른 경계 $x=0$에서는 -2와2가 번갈아 나타나 부분합이 -2와0 사이를 오가므로 수렴하지 않는다. $x<0$ 또는 $x>2$에서는 첫 항이0이 아니고 공비의 절댓값이1보다 커서 항이0으로 가지 않는다.

경계값을 놓치지 않는 세 가지 확인

1. 첫 항이0인 경우를 먼저 찾는다.
2. 첫 항이0이 아닌 경우에 공비 조건을 푼다.
3. 경계값은 약분한 분수 대신 원래의 각 항에 넣는다.

합−1을 구한 학생의 계산은 남겨 두고 $x=2$의 확인을 추가하게 하자.

출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.