양끝 값이 같아도 수평 접선이 없는 함수가 있다

$f(0)=f(2)=1$이다. 구간 내부에 기울기 0인 접선이 반드시 있을까?

두 구간에서는 도함수가 0이 되지 않는다. $f(1)=-1$이고, 1에서의 왼쪽 미분계수는 −1, 오른쪽은 1이어서 미분가능하지 않다. $0<c<2$에 $f'(c)=0$인 점은 없다.

롤의 정리 가정 점검

• 닫힌구간에서 연속: 충족
• 구간 내부의 모든 점에서 미분가능: 1에서 실패
• 양끝 함수값이 같음: 충족

정리의 가정 하나가 빠졌으므로 결론이 성립하지 않아도 모순이 아니다. $2x-3=0$의 해 1.5를 쓴 학생에게는 그 도함수 식의 적용 구간부터 표시하게 한다. 다른 조각에서 얻는 0.5도 마찬가지다.

해외 글의 독자 Insik은 도함수가 정의되지 않은 부분을 어떻게 읽는지 물었다. 그 질문을 부호 표의 빈 한 점이 정리 적용을 막는 사례로 바꾸었다.

출처·착안: Reading the Derivative’s Graph. 문항과 풀이는 새로 작성했다.