적어도 하나의 c가 존재한다는 말은 하나만 있다는 뜻일까

f(x)=x^4-x^2\quad(-1\le x\le1)

학생은 롤의 정리로 $f'(c)=0$ 인 c가 존재한다고 쓴 뒤 “그러므로 c=0 하나뿐”이라고 덧붙였다. 마지막 말도 따라올까?

\begin{aligned} f'(x)&=2x(2x^2-1)\\ f'(c)=0&\iff c=-\frac1{\sqrt2},\ 0,\ \frac1{\sqrt2} \end{aligned}

답은 세 개다. 모두 구간 내부에 있다. 다항함수의 연속·미분가능과 $f(-1)=f(1)=0$ 으로 정리를 적용할 수 있지만, 정리는 ‘적어도 하나’를 보장한다.

질문	필요한 답안
존재함을 설명하라	가정 확인과 롤의 정리
모든 c를 구하라	방정식 풀이와 구간 확인

0이라는 값은 맞다. ‘하나뿐’이라는 말을 고치게 한다. 그림에서는 접점 세 개가 수평인 직선 두 개에 놓인다. $f(0)=0$ , $f(\pm1/\sqrt2)=-1/4$ 이므로 접점 수와 서로 다른 접선 수도 구별할 수 있다.

도함수 정보로 결론을 정당화하는 해외 글에 착안해, 이번에는 존재를 유일성으로 바꿔 읽은 답안을 검토했다.

출처·착안: Reading the Derivative’s Graph. 문항과 풀이는 새로 작성했다.