수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

역함수와 함수값의 역수는 미분하기 전부터 다른 함수다

역함수와 함수값의 역수를 각각 식으로 써 도함수와 정의역을 비교한다.

흔들린 수면에 산과 구름이 비치는 모습

사진: Ximonic (Simo Räsänen) · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

f(x)=x+2(x∈R)g=f−1,r(x)=1f(x) \begin{aligned} f(x)&=x+2\quad(x\in\mathbb R)\\ g&=f^{-1},\qquad r(x)=\frac1{f(x)} \end{aligned}

g′(0)g'(0), r′(0)r'(0)을 구하라. 미분하기 전에 두 함수의 식부터 나누자.

확인 역함수 g 함수값의 역수 r
식 x−2 1/(x+2)
정의역 실수 전체 x≠−2
0에서 함수값 −2 1/2
0에서 미분계수 1 −1/4

정의역·공역을 실수 전체로 둔 f는 일대일 대응이다. y=x+2y=x+2를 x=y−2x=y-2로 정리하면 역함수의 식을 얻는다.

역수 쪽은

r′(x)=−1(x+2)2r'(x)=-\frac1{(x+2)^2}

이다. f−1f^{-1}과 (f(x))−1(f(x))^{-1}의 −1은 같은 계산을 지시하지 않는다.

해외 글은 공식에 넣을 함수값과 기울기를 구별한다. 여기서는 공식을 고르기 전 대상 함수부터 다르게 쓰는 확인표를 준비했다. −2가 빠지는 정의역도 역수 쪽에만 남긴다.

출처·착안: Derivative Practice – Graphs. 문항과 풀이는 새로 작성했다.