함수가 미분가능해도 도함수가 그 점에서 연속일 필요는 없다

f(x)=\begin{cases} x^2\sin(1/x)&(x\ne0),\\ 0&(x=0) \end{cases}

0에서 미분가능하면 도함수도 0에서 연속일까?

\left|\frac{f(h)-f(0)}h\right| =|h\sin(1/h)|\le|h|

따라서 $f'(0)=0$ 이다. $|f(x)|\le x^2$ 이므로 원래 함수도 0에서 연속이다.

하지만 $x\ne0$ 에서는

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)

이다. 자연수 k에 대해 두 입력을 비교한다.

\begin{aligned} u_k&=\frac1{2k\pi},& f'(u_k)&=-1\\ v_k&=\frac1{(2k+1)\pi},& f'(v_k)&=1 \end{aligned}

두 입력은 모두 0으로 가지만 도함수값은 서로 다르다. 도함수는 0에서 연속이 아니다.

미분가능이면 연속이라는 결론의 대상은 원래 함수다. 도함수로 대상을 바꿔 읽지 않게 한다. 일본 글의 점 근처 미분 설명을 이 심화 반례로 확장했다. 그림에서는 몇 개의 입력점만 표시하고, 0 근처의 빠른 변화를 부정확한 곡선 하나로 대체하지 않는다.

출처·착안: 【中高生向け】結局、微分って. 문항과 풀이는 새로 작성했다.