역함수가 있어도 역함수의 미분계수는 없을 수 있다

f(x)=x³은 실수 전체에서 역함수 g(x)=∛x를 갖지만 g′(0)은 존재하지 않습니다. 미분계수의 정의에 나오는 분수 1/(∛h)²은 +∞로 발산합니다. 역함수의 존재와 역함수의 한 점에서의 미분가능을 별도 조건으로 읽어 보세요.

f:\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x)=x^3

역함수 g가 존재한다. 그렇다면 g′(0)도 존재할까?

\begin{aligned} g(x)&=\sqrt[3]{x}\\ \frac{g(h)-g(0)}h &=\frac1{(\sqrt[3]{h})^2}\quad(h\ne0) \end{aligned}

h가 양쪽에서 0에 가까워지면 마지막 값은 +∞로 발산한다. g′(0)은 유한한 실수로 존재하지 않는다. “미분계수는 ∞”라고 적으면 안 된다.

역함수의 존재와 미분가능은 다른 조건

f는 실수 전체에서 일대일 대응이므로 g는 존재한다. 그러나 역함수의 미분법을 적용할 때에는 분모가 되는 f′의 값도 확인해야 한다.

f'(0)=0

0이 아닌 x에서는 $g'(x)=1/[3(\sqrt[3]{x})^2]$ 이지만, 이 식에 x=0을 대입할 수 없다.

Teaching Calculus의 원문은 도함수 계산 뒤 그래프의 의미를 설명하게 한다. 새 질문에서는 역함수가 있다는 판단과 한 점에서 미분할 수 있다는 판단을 두 줄로 나눴다.

출처·착안: Derivative Practice – Graphs. 문항과 풀이는 새로 작성했다.