수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

같은 도함수 그래프여도 f(x)=0의 실근 개수는 다르다

f_C(x)=x³/3−x+C는 모든 C에서 도함수가 x²−1입니다. 하지만 C=0이면 실근 3개, C=1이면 1개입니다. 같은 도함수 그래프에서 원래 함수의 높이까지 알 수 있는지 묻는 비교 문제입니다.

강을 가로지르는 현수 보행교와 나란한 난간

사진: DeFacto · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

fC(x)=x33−x+Cf_C(x)=\frac{x^3}{3}-x+C

모든 C에서 도함수는 x²−1이다. 그렇다면 f_C(x)=0의 실근 개수도 같을까?

fC′(−1)=fC′(1)=0fC(−1)=C+23fC(1)=C−23 \begin{aligned} f_C'(-1)&=f_C'(1)=0\\ f_C(-1)&=C+\frac23\\ f_C(1)&=C-\frac23 \end{aligned}
C 극댓값 극솟값 실근 개수
0 2/3 −2/3 3개
1 5/3 1/3 1개

C=0이면 실근은 0,±30,\pm\sqrt3이다. C=1이면 두 극값이 모두 양수여서 x<−1인 구간에서만 한 번 x축과 만난다.

도함수에 남지 않은 정보

증가·감소 구간과 극값을 갖는 x는 같아도, 극값의 높이와 x축과 만나는 횟수는 달라진다.

Teaching Calculus의 원문은 도함수 그래프에서 원래 함수의 성질을 읽게 한다. 이 비교에서는 같은 도함수 그림 옆에 두 C 값을 주고, “추가로 알아야 할 값”을 묻는다. f_C(0)=C 하나로 두 그래프를 구별할 수 있다.

출처·착안: Reading the Derivative’s Graph. 문항과 풀이는 새로 작성했다.