수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

없는 항을 더하고 빼면 보이지 않던 두 인수가 나타난다

x⁴+4=(x²+2)²−4x²=(x²−2x+2)(x²+2x+2). 두 인수는 각각 (x∓1)²+1이어서 실수 계수의 일차식으로 더 나눌 수 없습니다. 없는 항을 더하고 빼는 이유와 마지막 계수 범위를 함께 확인하세요.

여러 목재 조각이 서로 맞물린 입체 퍼즐

사진: Gary Todd from Xinzheng, China · CC0 · 원본 출처

x4+4x^4+4

x²항이 없다는 이유로 인수분해할 수 없다고 판단했는가? 4x²를 더하고 빼면 제곱의 차가 된다.

x4+4=(x2+2)2−4x2=(x2−2x+2)(x2+2x+2) \begin{aligned} x^4+4 &=(x^2+2)^2-4x^2\\ &=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2) \end{aligned}

각 인수도 확인한다.

x2−2x+2=(x−1)2+1>0x2+2x+2=(x+1)2+1>0 \begin{aligned} x^2-2x+2&=(x-1)^2+1>0\\ x^2+2x+2&=(x+1)^2+1>0 \end{aligned}

따라서 두 이차식은 실수 계수의 일차식으로 더 나눌 수 없다. 허수까지 허용한 인수분해와는 구별해야 한다.

두 질문을 따로 준비한다

  1. 없는 항을 무엇으로 더하고 빼야 제곱의 차가 되는가?
  2. 마지막 두 인수는 어떤 계수 범위에서 더 나뉘지 않는가?

해외의 인수분해 연습 글에서는 규칙이 보이도록 식을 배열했다. 새 문항에서는 계산 결과 뒤에 인수분해를 끝내는 근거와 계수 범위를 함께 남겼다.

출처·착안: Factoring Non-Monic Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.