두 실근이 구간 안에 있다는 조건은 판별식에서 끝나지 않는다

x^2-3x+a=0

두 실근이 모두 0과 2 사이에 있도록 실수 a의 범위를 구하라. 중근도 허용한다.

\begin{aligned} D&=9-4a\ge0\\ f(0)&=a>0\\ f(2)&=a-2>0 \end{aligned}

아래로 볼록이고 축 x=3/2가 구간 안에 있다. 따라서 두 끝점의 함수값이 양수이고 실근이 존재하면 두 근은 구간 안에 놓인다.

\boxed{2<a\le\frac94}

두 경계값의 포함 여부

a	근	포함 여부
2	1, 2	2가 구간 밖이므로 제외
9/4	3/2의 중근	허용하므로 포함

판별식만 쓰면 근이 존재하는지는 알 수 있어도 위치는 정해지지 않는다. Resourceaholic의 인수분해 글을, 실근의 존재와 구간 안의 위치를 따로 확인하는 문항으로 바꿨다.

출처·착안: Factorising Harder Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.