수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

합이 0이면 각 항이 0이라는 결론에는 부호 조건이 필요하다

실수 x,y에서 (x−1)²+(y−2)²=0이면 (x,y)=(1,2)입니다. 각 항이 0 이상이라는 근거가 필요합니다. 일반적인 합과 복소수 반례에서는 같은 결론을 쓸 수 없습니다.

비어 있는 두 금빛 접시의 양팔저울

사진: Nikodem Nijaki · CC BY-SA 3.0 · 원본 출처

(x−1)2+(y−2)2=0(x,y∈R) (x-1)^2+(y-2)^2=0\qquad(x,y\in\mathbb R)

“합이 0이므로 각 항도 0”이라는 풀이는 왜 가능한가?

(x−1)2≥0,(y−2)2≥0 (x-1)^2\ge0,\qquad(y-2)^2\ge0

한 항이 양수면 다른 항도 0 이상이므로 합이 양수다. 따라서 두 항은 모두 0이어야 한다.

(x,y)=(1,2) \boxed{(x,y)=(1,2)}

같은 결론을 쓸 수 없는 경우

  • 일반적인 합: 1+(−1)=0이지만 두 항은 0이 아니다.
  • 복소수를 허용한 위 식: x=2, y=2+i이면 두 제곱은 1과 −1이다.

채점할 때 각 항을 0으로 놓은 계산 옆에 실수의 제곱은 0 이상이라는 근거도 확인한다. 해외의 넓이와 식 대응을, 부호 조건을 바꾼 비교 문항으로 재구성했다.

출처·착안: Quadratic Area Puzzles. 문항과 풀이는 새로 작성했다.