합성함수가 항상 0이어도 바깥함수 전체가 0인 것은 아니다

2026.09.28

f(x)=x², g(t)=0(t≥0), t²(t<0)이면 g(f(x))는 늘 0입니다. 하지만 g(−1)=1입니다. 합성이 g의 전체 정의역이 아니라 f의 치역 [0,∞)만 조사했다는 점을 확인하세요.

f(x)=x^2,\qquad g(t)=\begin{cases}0&(t\ge0),\\t^2&(t<0)\end{cases}

모든 실수 x에서 g(f(x))=0이다. 그렇다면 g(t)도 모든 실수 t에서 0일까?

f(x)\ge0\quad\Longrightarrow\quad g(f(x))=0

합성에서 g에 들어가는 값은 f의 치역 [0,∞)뿐이다. 음수 입력은 조사하지 않았다.

\boxed{g(-1)=1}

따라서 g 전체가 0이라는 결론은 틀리다. g의 음수 입력 부분을 다른 식으로 바꿔도 이 합성함수의 값은 그대로다.

Seeing the Chain Rule의 입력 대응을, 합성에 나타나지 않는 입력을 찾는 반례로 재구성했다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.