수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

대응을 한쪽으로 되돌렸다고 두쪽 모두 되돌리는 것은 아니다

f=e^x와 h(y)=ln y(y>0), 0(y≤0)을 실수 전체→실수 전체로 두면 h(f(x))=x입니다. 그러나 f(h(0))=1입니다. 한쪽 합성 성공만으로 역함수라고 판단할 수 없습니다.

노란 케이블이 꽂힌 포트와 비어 있는 옆 포트

사진: Pittigrilli · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

f(x)=ex,h(y)={ln⁡y(y>0),0(y≤0) f(x)=e^x,\qquad h(y)=\begin{cases}\ln y&(y>0),\\0&(y\le0)\end{cases}

f, h를 모두 실수 전체에서 실수 전체로의 함수라고 선언했다. h(f(x))=x이면 h는 f의 역함수일까?

합성 결과
h(f(x)) 모든 실수 x에서 x
f(h(y)), y>0 y
f(h(y)), y≤0 1
f(h(0))=1≠0 f(h(0))=1\ne0

한쪽 합성은 성공하지만 반대쪽은 실패한다. f의 치역은 양수 전체이므로 선언한 공역 전체와 일대일 대응이 아니다.

f의 공역을 양수 전체로 바꾸면 그 범위에서 역함수는 ln이다. 해외 그래프의 입력·함수값 읽기를, 두 합성의 검사 범위를 비교하는 문항으로 바꿨다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.