점근선과 만나는 그래프도 있다

2026.09.28

1+x/(x²+1)의 점근선은 y=1인데 그래프는 (0,1)을 지납니다. x→±∞에서의 극한과 유한한 입력 0에서의 함수값은 함께 성립합니다. 점근선을 만날 수 없다는 답을 검토해 보세요.

사진: Hillebrand Steve, U.S. Fish and Wildlife Service · Public domain · 원본 출처

f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}

점근선 y=1과 그래프가 만날 수 있을까?

\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=1

x≠0에서 분수 부분은 (1/x)/(1+1/x²)로 쓸 수 있고, x→±∞일 때 0으로 수렴한다. 그런데

\boxed{f(0)=1}

이므로 (0,1)에서 만난다. x<0에서는 f(x)<1, x>0에서는 f(x)>1이어서 점근선을 가로지른다.

점근선은 유한한 입력에서 만나는 것을 금지하지 않는다. 극한과 실제 함수값을 각각 확인한다. 해외 댓글의 점근선 질문을, 직접 만나는 예를 검산하는 문항으로 재구성했다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.