유리함수의 범위를 분모가 양수라는 조건으로 직접 증명한다

f(x)=\frac{x}{x^2+1}\qquad(x\in\mathbb R)

미분 없이 최솟값과 최댓값을 구하자. 분모가 양수라도 x<0이면 함수값은 음수다.

\begin{aligned} (x-1)^2\ge0&\ \Longrightarrow\ \frac{x}{x^2+1}\le\frac12\\ (x+1)^2\ge0&\ \Longrightarrow\ \frac{x}{x^2+1}\ge-\frac12 \end{aligned}

양의 분모 x²+1로 나누므로 부등호 방향이 바뀌지 않는다.

값	실제로 그 값을 갖는 입력
최솟값 −1/2	x=−1
최댓값 1/2	x=1

부등식만 구하지 말고 등호도 확인한다. [−1,1]에서 연속이므로 그 사이 함수값도 모두 갖는다. 치역은 [−1/2,1/2]이다.

Mathlog의 부등식 증명을, 두 제곱식과 양의 분모로 범위를 확인하는 새 풀이로 바꿨다.