덧셈을 보존하는 일차함수에는 상수항 조건이 더 있다

모든 실수 x,y에서 위 등식이 성립한다.

“ax+b이면 덧셈을 보존한다”는 답을 검토하자. 왼쪽은 a(x+y)+b, 오른쪽은 a(x+y)+2b이므로 $\boxed{b=0}$이다. 이 조건을 다시 넣으면 모든 x,y에서 등식이 성립한다. a는 임의의 실수이며, 일차함수로 한정하면 a≠0이다.

f(x)=x+1은 x=y=0에서 왼쪽 1, 오른쪽 2로 실패한다. f(x)=3x는 모든 입력에서 성립한다. 0만 대입해 얻은 필요조건과 전체 식으로 확인한 충분조건을 나란히 적게 하자.

두 조건을 모두 요구하여 f(xy)=f(x)f(y)도 추가하면 어떨까? 이미 b=0이므로 axy=a²xy에서 a=0 또는 1이다. x=y=1로 후보를 얻고, 두 후보를 모든 입력에 대입해 확인한다. 곱 조건만 따로 준 문제와 혼동하지 않도록 ‘덧셈 조건도 유지한다’는 말을 남긴다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising by Inspection」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.