합의 식에서 일반항을 구할 때 첫째항은 따로 확인한다

S_n=n^2+1\qquad(n=1,2,3,\ldots)

Sₙ은 첫째항부터 제n항까지의 합이다. 차를 계산한 aₙ=2n−1을 첫째항에도 써도 될까?

n≥2에서 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+1)−((n−1)²+1)=2n−1이다. 첫째항은 a₁=S₁=2이므로

\boxed{a_1=2,\qquad a_n=2n-1\quad(n\ge2)}

이다. 주어진 Sₙ의 식은 양의 정수 n에만 적용한다. 항을 더하지 않은 합을 S₀=0으로 두더라도 n²+1에 n=0을 넣어 S₀=1이라고 바꿀 수 없다.

첫 네 항은 2,3,5,7이고 합 17은 S₄와 일치한다. 1,3,5,7을 쓰면 합 16이다. 차 공식의 계산을 지우기보다 적용 범위 n≥2와 첫째항 검사를 추가하게 하자. 첫째항은 정답의 별도 경우로 남긴다.