부분합의 최대를 실수 꼭짓점에서 그대로 읽으면 안 된다

a_n=\frac{3-n}{2},\qquad S_n=\frac{n(5-n)}4

n=1,2,3,…이며, Sₙ은 첫째항부터 제n항까지의 합이다.

이차식의 꼭짓점 n=5/2를 최대 부분합의 항수로 써도 될까?

항수 n은 양의 정수다. 완전제곱식으로 쓰면

S_n=\frac{25}{16}-\frac{(n-5/2)^2}{4}.

5/2에 가장 가까운 양의 정수는 2와 3이므로 $\boxed{S_2=S_3=3/2}$ 가 최대다. 실수 변수의 꼭짓점 값 25/16은 이 수열의 부분합 값이 아니다.

항으로도 확인할 수 있다. a₁=1,a₂=1/2,a₃=0이고 네 번째부터 음수다. 세 번째 0을 더해도 같은 최대를 갖는다. 그래프를 읽은 학생에게 ‘항수는 양의 정수’ 조건을 붙인 뒤, 최대가 두 번 나오는 이유를 a₃=0으로 설명하게 하자.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.