복잡한 귀납적 정의가 역수를 취하면 등차수열이 된다

a_1=1,\qquad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}\quad(n=1,2,3,\ldots)

처음 세 항 1,1/2,1/3을 보고 aₙ=1/n이라고 추측했다. 몇 항의 패턴을 모든 항의 결론으로 바꾸려면 어떤 근거가 필요한가?

a₁>0이고 양수 항을 넣으면 다음 항도 양수다. 따라서 모든 항의 역수를 취할 수 있으며

\frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_n}+1

이다. 역수를 취한 항은 첫째항 1, 공차 1인 등차수열이므로 1/aₙ=n, 즉 $\boxed{a_n=1/n}$ 이다.

(1/n)/(1+1/n)=1/(n+1)이고 첫째항도 1이어서 원래 정의와 일치한다. 역수를 취하기 전 양수임을 확인한 줄을 지우지 말자. 첫째항이 0인 별도 수열은 모두 0이지만 역수 변환을 사용할 수 없다. 추측한 식을 첫 조건과 다음 항 관계에 각각 대입해 검산하게 하자.

출처·착안: DMoRanSky, 「「高中数学」易错点以及不自然处整理」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.