aₙ²=1이므로 원래 수열도 1로 수렴한다는 답을 검토하자.
원래 항은 −1,1,−1,1,…이다. 홀수 번째 항은 −1, 짝수 번째 항은 1이어서 하나의 값에 가까워지지 않는다. 따라서 aₙ은 발산하지만 aₙ²과 |aₙ|은 모두 1로 수렴한다. 제곱과 절댓값에서 부호 정보가 사라졌다.
제곱한 수열의 극한이 0이면 결론이 달라진다. aₙ²→0에서 |aₙ|→0이고
이므로 aₙ→0이다. 양의 극한값 1과 0의 경우를 구별하자.
“원래 극한은 ±1”이라는 답은 반복되는 두 값과 수열의 한 극한을 혼동한다. 홀수·짝수 항을 표에 따로 적게 하고, 제곱의 극한이 0인 경우에는 두 경계가 같은 값으로 가는 근거를 쓰게 하자.
출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.