2n항까지의 합은 n항 합의 두 배가 아니다

a_n=2^{n-1}

S_n=1+2+\cdots+2^{n-1}

n은 양의 정수이다.

S₂ₙ=2Sₙ이라고 쓴 답에서, 뒤 n개 항이 앞 n개 항과 같은 크기인지 확인하자.

뒤 묶음 2ⁿ+…+2²ⁿ⁻¹의 각 항은 앞 묶음의 대응 항을 2ⁿ배한 것이다. 따라서 $\boxed{S_{2n}=(1+2^n)S_n}$ 이다. 항수가 같아도 합이 같지는 않다.

Sₙ=2ⁿ−1로도 검산할 수 있다.

S_{2n}-2S_n=(2^n-1)^2>0.

양의 정수 n에서 처음 2n항의 합은 두 배보다 항상 크다. n=2이면 앞 1,2의 합은 3, 뒤 4,8의 합은 12여서 전체는 15다. 2S₂=6과 다르다.

두 묶음의 항 번호를 먼저 표시하고 대응 항의 배율을 쓰게 하자. ‘개수 두 배’라는 정보와 ‘합의 값 두 배’라는 결론 사이에 필요한 조건을 찾는 질문이다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Geometric Series – Far Out」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.