로그가 정의되지 않는 끝점은 함수값과 극한을 먼저 보완한다

$\int_0^1f(x)dx$를 구하자. ln0을 대입하거나 0·ln0=0이라고 쓰면 안 된다.

lnu≤u−1(u>0)에 u=1/√x를 넣으면

양쪽 경계가 0으로 가므로 xlnx→0이다. 따라서 새로 정의한 f(0)=0과 맞아 f는 [0,1]에서 연속이다.

부분적분으로 얻은 A(x)=x²lnx/2−x²/4를 미분하면 xlnx다. x²lnx=x(xlnx)→0이므로 아래 끝의 극한값은 0이다. A(1)=−1/4에서 $\boxed{\int_0^1f(x)dx=-1/4}$다.

새 함숫값 f(0), ln이 정의되지 않는 식, 적분 후 표현 A의 극한을 세 칸에 나누어 쓰게 하자. [0,1]에서 f≤0이라는 부호 검산도 붙인다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.