부분적분을 두 번할 때 다항식의 차수가 내려가는 선택

\int x^2e^x\,dx

다항식을 미분하고 eˣ를 적분하면 남는 다항식의 차수가 내려간다. 두 번의 부분적분을 따라가자.

\begin{gathered}\int x^2e^x dx=x^2e^x-2\int xe^x dx,\\\int xe^x dx=xe^x-e^x+C.\end{gathered}

따라서 답은 $\boxed{e^x(x^2-2x+2)+C}$ 다. 미분하면 eˣ[(x²−2x+2)+(2x−2)]=x²eˣ로 돌아온다.

반대로 eˣ를 미분하고 x²을 적분해도 부분적분 등식은 맞다. 다만 남은 적분의 다항식 차수가 3으로 커져 계산이 줄지 않는다. ‘틀린 선택’과 ‘이번 계산을 짧게 하는 선택’을 구별하자.

두 선택에서 남는 적분을 한 줄씩 비교하게 하자. 차수가 2→1→0으로 내려가면 유한한 횟수로 끝나는 이유가 보인다. 어느 경로를 택하든 마지막 식의 미분 검산은 같은 기준이다.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.