절댓값 정적분을 가장 작게 만드는 상수를 구간별로 찾는다

J(a)=\int_0^1|x-a|\,dx,\qquad a\in\mathbb R

J(a)를 가장 작게 만드는 a를 구하자. 모든 실수 a에 대해 x=a에서 적분 구간을 나눌 수 있을까?

0≤a≤1일 때에만 x=a가 구간 안에 있다. 세 경우를 계산하면

J(a)= \begin{cases} \frac12-a & (a<0),\\ a^2-a+\frac12 & (0\le a\le1),\\ a-\frac12 & (a>1). \end{cases}

가운데 식은 $(a-\frac12)^2+\frac14$ 이다. 바깥 두 경우는 모두 1/2보다 크므로 전체 실수에서 $\boxed{a=1/2,\ J(a)=1/4}$ 가 최솟값이다.

a=0과 1에서는 J=1/2로 식이 연결된다. 가운데 식의 꼭짓점만 찾은 답에는 ‘구간 밖의 a는 왜 제외되는가’를 덧붙이자. 절댓값을 없애는 부호 판단과 최솟값을 비교하는 범위 판단을 각각 확인할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.