P²=P를 한 점에서 만족하는 것과 항등식은 다르다

계수가 모두 실수인 다항식 P를 모두 구하라. P(P−1)=0을 보고 ‘입력에 따라 P=0이나 1을 선택하면 된다’고 쓴 답안을 검토한다.

P의 차수가 d≥1이라면 P²의 차수는 2d다. 최고차항의 계수를 a라 할 때 P²−P의 최고차항은 a²x^(2d)여서 없어지지 않는다. 따라서 이 식이 모든 실수에서 0인 다항식이 될 수 없다.

P는 상수여야 한다. 상수를 c라 두면 c²=c에서 c(c−1)=0이다. 따라서

입력마다 두 값을 선택한 함수를 만들 수는 있다. 예를 들어 음수 입력에는 0, 나머지에는 1을 대응시키면 함수값의 제곱은 자기 자신이다. 그러나 이 함수는 다항식이 아니므로 주어진 범위에 들어가지 않는다.

x=0에서만 조건을 주었다면 P=x도 가능하다. 같은 등호라도 모든 입력의 항등식인지 한 입력에서의 방정식인지 문제지에 남긴다. 인수 둘 중 하나가 0이라는 점별 결론을 다항식의 차수와 함께 검토해야 한다.

출처·착안: Factorising Harder Quadratics. 문항과 풀이는 새로 작성했다.