합과 곱이 실수인 두 복소수는 언제 서로 켤레일까

z+w\in\mathbb R,\qquad zw\in\mathbb R

두 복소수는 반드시 서로 켤레일까? 정확한 경우를 분류하라.

합이 실수이므로 z=a+bi, w=c−bi로 놓을 수 있다. a,b,c는 실수다.

zw=ac+b^2+b(c-a)i.

곱도 실수일 조건은 b(c−a)=0이다.

경우	두 수의 관계
b=0	둘 다 실수
b≠0	c=a이므로 서로 켤레복소수

거꾸로 둘 다 실수이거나 서로 켤레이면 합과 곱은 실수다. 따라서 이 분류는 필요조건과 충분조건을 모두 만족한다. 같은 실수 한 쌍은 두 설명에 함께 해당한다.

z=1,w=2는 합과 곱이 실수지만 서로 켤레는 아니다. 이 반례는 “반드시 켤레”를 부정할 뿐, 가능한 모든 쌍의 분류까지 대신하지 않는다. b(c−a)=0의 두 경우를 적은 답안과 반례만 적은 답안을 구별해 채점한다.