안쪽 함수가 미분불가능해도 합성함수는 미분가능할 수 있다

g∘f가 0에서 미분가능한지 구하라. f′(0)이 없으므로 합성함수도 미분불가능하다고 쓴 답은 합성함수의 미분법을 올바르게 읽었는가?

직접 합성하면 g(f(x))=|x|²=x²이다. 따라서 0에서 미분계수는 0이다. 반면 f의 미분계수는 오른쪽 1과 왼쪽 −1이 달라 존재하지 않는다.

합성함수의 미분법은 안쪽과 바깥 함수가 필요한 곳에서 미분가능할 때 적용할 수 있는 공식이다. 그 가정이 실패했다고 합성함수의 미분가능성까지 부정하는 정리는 아니다.

g′(f(0))=0이므로 0·‘존재하지 않는 값’을 계산해 답을 0으로 쓰지도 않는다. 이 점에서는 해당 공식을 적용하지 않고 합성한 식의 정의로 계산한다.

교사는 공식 적용의 가정 검사와 직접 합성 후 계산을 두 경로로 제시한다. 첫 경로가 막힌 사실과 실제 함수가 미분불가능하다는 결론을 분리하여 채점한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.