삼각함수 안의 각은 호도법으로 나타낸 수다. n=1,2,3,…인 양의 정수에 대하여 두 점 (a_n,f(a_n)),(b_n,f(b_n))를 지나는 직선의 기울기 극한을 구하라. 두 입력이 모두 0으로 가므로 f′(0)과 같은 값이어야 할까?
f(h)/h=h sin(1/h)→0이므로 f′(0)=0이다. 그러나 f(a_n)=0이고 f(b_n)=b_n²다. T=2πn으로 쓰면
두 입력이 가까워지는 간격은 각각의 입력 크기보다 더 작다. 접점 0을 고정한 정의의 분수와 두 점이 함께 움직이는 분수는 같은 극한 조건이 아니다.
교사는 ‘모두 0으로 간다’는 관찰을 인정한 뒤 분모가 무엇인지 비교하게 한다. f′(0)의 분모 h와 이 문항의 b_n−a_n을 같은 기호로 압축하지 않는다. 접선의 직선 근사를 읽을 때 적용할 비율을 확인하는 반례다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.