삼각함수 안의 각은 호도법으로 나타낸 수다. f′(0)=1임을 확인하고, 0을 포함하는 어떤 열린구간에서도 f가 증가하지 않음을 보이라.
f(h)/h=1+h²sin(1/h²)→1이다. x≠0에서 f′(x)=1+3x²sin(1/x²)−2cos(1/x²)다. 양의 정수 n=1,2,3,…에 대해 x_n=1/√(2πn)을 넣으면 f′(x_n)=−1이다.
0을 포함하는 어느 구간에도 충분히 큰 n의 x_n이 들어 있다. 그 점의 미분계수가 음수이므로 가까운 오른쪽 입력에서 함수값이 작아지는 두 점이 존재한다. 따라서 구간 전체의 증가 정의를 위반한다.
f′(0)>0이면 충분히 작은 양수 h에서 f(h)>f(0)인 것은 맞다. 그러나 이는 고정된 입력0과 주변 한 입력의 비교다. 모든 주변 두 입력의 순서 비교까지 보장한 것은 아니다.
도함수의 한 점 표시와 구간의 부호 정보를 다른 색으로 남긴다. 원래 함수의 연속과 미분가능은 모두 충족하며, 도함수의 연속은 이 문항에서 가정하지 않았다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.