0을 제외한 이계도함수가 0이어도 직선 하나로 정해지지 않는다

f''(x)=0\ (x\ne0),\qquad f(0)=1,\qquad f\text{는 }0\text{에서 연속}

각각의 양쪽 구간에서 두 번 미분가능한 f를 모두 표현하라. 이계도함수0을 보고 f=ax+1 하나로 끝내도 될까?

각 구간에서 f′는 상수이고 f는 일차식이다. 0의 연속 조건으로 두 일차식의 상수항은 모두 1이다. 기울기까지 같아야 한다는 조건은 아직 없다.

\boxed{f(x)=\begin{cases}ax+1&x<0,\\1&x=0,\\bx+1&x>0\end{cases}\quad(a,b\in\mathbb R)}

0에서 미분가능이라는 조건을 추가하면 좌우 미분계수 a,b가 같아 a=b다. 예를 들어 |x|+1은 처음 조건을 모두 만족하지만 두 기울기가 −1,1이라 직선 하나가 아니다.

도함수의 상수를 적을 때 어느 구간에서 얻었는지 표시한다. 연속은 높이를 맞추고 미분가능은 기울기를 맞춘다. 두 조건을 같은 검사로 처리하지 않도록 그래프의 접합점과 좌우 직선 정보를 따로 남긴다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.