f″(0)>0이므로 모든 실수에서 곡선이 아래로 볼록이고 0의 접선 위에 있다는 주장을 검토하라.
f′(0)=0,f(0)=0이므로 접선은 y=0이다. f″(x)=2−12x²이고 f″(0)=2>0은 맞다. 하지만 |x|>1/√6에서는 이계도함수가 음수여서 전체에서 아래로 볼록이라는 결론은 틀리다.
또 f=x²(1−x²)이므로 0<|x|<1에서는 접선 위, |x|>1에서는 접선 아래다. x=2를 넣으면 f(2)=−12로 전 구간 위치 주장도 반박된다.
0 근처의 그림은 주장을 그럴듯하게 보이게 하지만 입력 범위를 넓혀야 잘못된 결론이 드러난다. 이계도함수 부호 구간의 경계 ±1/√6과 접선과의 교점 −1,0,1은 서로 다른 계산에서 나온다.
자료에 두 종류의 경계를 다른 색으로 표시한다. 볼록한 방향이 바뀌는 위치와 접선 위아래가 바뀌는 위치를 하나의 숫자로 맞추지 않는다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.