꼭짓점이 (0,0),(a,0),(0,b)인 삼각형 안에 좌표축과 나란한 직사각형을 놓는다. 한 꼭짓점은 원점이고 맞은편 꼭짓점은 빗변 위다. 가능한 넓이의 최댓값을 구하라.
맞은편 꼭짓점을 (x,y)라 하면 y=b(1−x/a),0<x<a다. a,b를 고정한 넓이는 A=bx−(b/a)x²이고 A′=b−2bx/a다. x=a/2,y=b/2에서 최대 ab/4를 얻는다.
아직 a,b는 정해지지 않았다. (a−b)²≥0에서 2ab≤a²+b²=100이므로 ab/4≤25/2다.
등호는 a=b=5√2이고 직사각형의 두 변이 각각 5√2/2일 때 성립한다. 넓이를 구한 뒤 첫 삼각형도 함께 바뀔 수 있다는 조건을 잊으면 ab/4에서 풀이를 멈추게 된다.
교사는 ‘고정한 삼각형 안의 최대’와 ‘허용된 모든 삼각형 중 최대’를 두 단계로 적는다. 두 단계의 등호 조건이 동시에 실현되는지 마지막 좌표로 검산한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Quadratic Area Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.