각도를 도 단위로 표시한 적분에서는 구간 길이도 바뀐다

\int_0^{180}\sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)\,dx

x는 각의 크기를 도 단위로 표시한 수다. sin을 0부터 π까지 적분한 값2를 그대로 답한 풀이를 검토한다.

u=πx/180으로 바꾸면 x=180u/π이고 dx=(180/π)du다. 양 끝도 0과 π로 바뀌므로

\int_0^{180}\sin\left(\frac{\pi x}{180}\right)dx=\frac{180}{\pi}\int_0^\pi\sin u\,du=\boxed{360/\pi}

함숫값은 같아도 가로축의 숫자 한 단위가 달라진다. 적분값은 그 가로 길이의 배율을 반영한다. 단지 위 끝180을 π로 적어 바꾸고 dx의 배율을 남기지 않은 답은 다른 구간 폭을 계산한 것이다.

후속 검산에서는 (180/π)(−cos(πx/180))을 미분한다. 안쪽 계수 π/180과 서로 없어져 원래 sin 식이 돌아온다. 극한이나 측정 효과를 가정하지 않고 입력의 단위 변환만 계산한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Why Radians?」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.