f는 [0,1]에서 연속이고 0≤f(x)≤1이다. ∫_0^1 f(x)dx를 구하라. f가 항상 1/2라는 답까지 따라오는가?
I=∫_0^1 f(x)dx라 하자. 입력을 1−x로 바꾸어 적분해도 같은 구간을 반대로 훑으므로 ∫_0^1 f(1−x)dx=I다. 주어진 등식을 적분하면 2I=1이다.
그러나 f의 모든 값은 정해지지 않는다. f=x와 f=1/2는 모두 조건을 만족하고 적분도 1/2지만 그래프는 다르다. x=0에서 함수값도 각각0과1/2다.
대칭인 두 위치의 높이를 더해 직사각형 높이1로 만드는 그림을 쓸 수 있다. 원래 곡선을 일정한 높이로 바꿔 그린 것은 같은 넓이라는 표현이며 원래 함수가 상수라는 주장과 다르다.
학생에게 적분값은 하나로 정해지지만 함수식은 여러 개 가능함을 다른 문장으로 쓰게 한다. 어느 대상이 확정됐는지 답의 주어를 남긴다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Average Value of a Function」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.