같은 넓이의 직사각형 높이가 실제 함수값일 필요는 없다

정적분을 구하고, 그 값과 같은 함수값을 갖는 $c\in[0,1]$이 있는지 판단하자.

같은 넓이의 직사각형 높이는 1이지만 함수값은 0 또는 2뿐이다. 따라서 $f(c)=1$인 입력은 없다. 적분 계산은 맞아도 입력의 존재까지 따라오지는 않는다.

연속함수라면 최솟값과 최댓값 사이의 평균 높이를 사잇값의 정리로 얻을 수 있다. 이번에는 $x=1/2$에서 불연속이다. 두 수평 부분을 세로선으로 잇지 않게 하자.

별도로 $f(1/2)=1$만 바꾸면 적분은 그대로지만 그 높이를 갖는 입력이 생긴다. 적분값과 한 점의 함수값은 따로 확인한다.

출처·착안: Average Value of a Function. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.