x를 x²로 바꾼 함수의 적분은 전체 적분값만으로 정해지지 않는다

f\text{는 }[0,1]\text{에서 연속},\qquad\int_0^1f(x)\,dx=1.

$\int_0^1f(x^2)\,dx$ 도 1인지 판단하자. 같은 조건을 만족하는 두 함수를 넣어 본다.

$f(x)$	주어진 적분	$\int_0^1f(x^2)\,dx$
$1$	$1$	$1$
$2x$	$1$	$2/3$

두 예가 모두 조건을 만족하지만 목표값이 다르므로 $\boxed{\text{정해지지 않는다}}$ .

도함수 인수 $2x$ 까지 붙인 별도 적분은 $u=x^2$ 로 바꾸어

\int_0^1 2x f(x^2)\,dx=\int_0^1f(u)\,du=1

이 된다.

함수값의 식에 $x^2$ 를 대입한 것과 적분변수까지 바꾼 것을 구별하자. 두 반례의 원래 조건부터 검산한 뒤 빠진 인수가 어느 계산을 정하는지 묻는다.

출처·착안: Seeing the Chain Rule. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.