모든 성분이 1인 행렬은 단위행렬이 아니다

A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

$J$ 와 $E$ 중 오른쪽에 곱해 $A$ 의 성분을 유지하는 행렬은 어느 쪽일까?

AJ=\begin{pmatrix}1&1\\3&3\end{pmatrix},\qquad AE=\boxed A.

$J$ 의 두 열은 모두 $(1,1)$ 이므로 각 행의 합을 두 번 적게 된다. $E$ 의 열은 원래 성분을 하나씩 남긴다. 단위행렬은 모든 성분이 1인 행렬이 아니다.

왼쪽에 $J$ 를 곱하면 $JA=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}$ 로 각 열의 합이 반복된다. 행의 합과 열의 합을 실제 계산에 연결하게 하자. 익숙한 이름만 고르지 않고 어떤 성분이 남는지 확인한다.

출처·착안: Matrix Multiplication. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.